Сопряженные комплексные числа — это пары чисел вида a + bi, где a и b являются действительными числами, а i — мнимая единица, которая обладает свойством i^2 = -1. В комплексной арифметике, сопряженное число к данному z = a + bi обозначается z* и вычисляется путем изменения знака мнимой части, т.е. z* = a — bi.
Модуль комплексного числа |z| определяется как расстояние от начала координат до точки, представляющей комплексное число z в комплексной плоскости. Модуль комплексного числа можно вычислить по формуле |z| = √(a^2 + b^2), где a — действительная часть числа, а b — мнимая часть числа.
Важным свойством сопряженных комплексных чисел является равенство их модулей. Для любого комплексного числа z верно, что |z| = |z*|. Доказательство этого свойства основано на том, что модуль числа |z| вычисляется с помощью квадратного корня из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а сопряженное число z* имеет такие же значения a и b, но с противоположными знаками. Поэтому, когда мы вычисляем модуль числа z* по формуле |z*| = √(a^2 + (-b)^2) = √(a^2 + b^2), получаем тот же результат, что и для числа z.
Рассмотрим примеры использования этого свойства. Пусть z = 2 + 3i будет комплексным числом. Его сопряженным числом будет z* = 2 — 3i. Модуль числа z вычисляется по формуле |z| = √(2^2 + 3^2) = √13. Модуль числа z* будет таким же: |z*| = √(2^2 + (-3)^2) = √13. Таким образом, модули сопряженных чисел z и z* равны и составляют √13.
Полное объяснение сопряженных комплексных чисел и равенства их модулей
Для любого комплексного числа z = a + bi его модулем называется выражение |z| = √(a^2 + b^2), где √ означает квадратный корень.
Из свойств сопряженных комплексных чисел следует, что их модули равны. Действительно, для сопряженных чисел z1 = a + bi и z2 = a — bi выполняется:
|z1| = √(a^2 + b^2)
|z2| = √(a^2 + (-b)^2) = √(a^2 + b^2)
Таким образом, модули сопряженных чисел равны и выражаются одним и тем же выражением √(a^2 + b^2).
Например, для комплексного числа z = 3 + 2i его сопряженным числом будет z’ = 3 — 2i. Модули этих чисел равны:
|z| = √(3^2 + 2^2) = √13
|z’| = √(3^2 + (-2)^2) = √13
Таким образом, модули комплексного числа z и его сопряженного числа z’ равны и составляют √13.
Что такое сопряженные комплексные числа?
Сопряженные числа имеют следующие свойства:
- Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа: |z*| = |z|.
- Сумма числа и его сопряженного числа является действительным числом: z + z* = (a + bi) + (a — bi) = 2a.
- Разность числа и его сопряженного числа тоже является действительным числом: z — z* = (a + bi) — (a — bi) = 2bi.
- Произведение числа и его сопряженного числа также является действительным числом: z * z* = (a + bi)(a — bi) = a^2 + b^2.
Сопряженные комплексные числа находят широкое применение в математике и физике, например, при решении уравнений, векторных задачах и в теории электромагнетизма.
Равенство модулей сопряженных комплексных чисел — примеры и объяснение
Модулем комплексного числа z = a + bi является величина, обозначаемая как |z| и равная квадратному корню из суммы квадратов его действительной и мнимой частей, то есть |z| = sqrt(a^2 + b^2).
Если z и z’ — сопряженные комплексные числа, то их действительные части равны (a = a’) и мнимые части противоположны по знаку (b = -b’).
Докажем равенство модулей сопряженных комплексных чисел на примере:
Пусть z = 3 + 4i. Тогда его сопряженное число z’ = 3 — 4i.
Модуль числа z: |z| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5.
Модуль сопряженного числа z’: |z’| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.
Из примера видно, что модули сопряженных комплексных чисел равны. Это можно объяснить тем, что модуль комплексного числа — это его расстояние от начала координат до точки, заданной им в комплексной плоскости. Сопряженные числа представляют собой точки, симметрично расположенные относительно действительной оси. Так как расстояния от начала координат до точек совпадают, модули этих чисел также равны.